nomor 12.-.
Apabila Akar-akar persamaan
x⁴ – 8x³ + ax² – bx + c = 0 membentuk deret
aritmatika dengan beda 2, maka...
A. a = -8, b = -15, c = 16
B. a = 8, b = 15, c = -16
C. a = 14, b = -8, c = 15
D. a = -16, b = 8, c = -15
E. a = 14, b = -8, c = 15
Nilai a, b dan c apda persamaan x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0 yang akar akar persamaannya membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 adalah a = 14, b = -8, dan c = -15.
PEMBAHASAN
Polinom atau suku banyak merupakan suatu sistem persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya lebih besar dari 2. Bentuk umum suku banyak adalah
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0
Suku banyak berderajat n memiliki n buah akar rasional.
Untuk suku banyak berderajat empat px^4+qx^3+rx^2+sx+t memiliki 4 akar rasional x_1,~x_2,~x_3,~dan~x_4. Penjumlahan dan perkalian akar akarnya dapat dilihat pada rumus di bawah ini.
x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{q}{p}\\\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{r}{p}\\\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{s}{p}\\\\x_1x_2x_3x_4=\frac{t}{p}
.
Sedangkan barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dimana beda tiap suku bilangan yang berdekatan adalah tetap/sama.
Rumus suku ke-n : u_n=a+(n-1)b
dimana :
u_n = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
Untuk jumlah suku ke-n : S_n=\frac{n}{2}[a+(n-1)b]
.
DIKETAHUI
Akar akar persamaan x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0 membentuk barisan aritmatika dengan beda 2.
.
DITANYA
Tentukan nilai a,b, dan c.
.
PENYELESAIAN
> Cari nilai akar-akarnya.
Misal akar akar dari x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0 adalah x_1,~x_2,~x_3,~dan~x_4.
Karena akar akarnya membentuk barisan artimatika dengan beda 2 maka berlaku :
x_1=x_1\\\\x_2=x_1+2\\\\x_3=x_1+4\\\\x_4=x_1+6\\\\\\x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0\\\\maka~p=1,~q=-8,~r=a,~s=-b,~t=c\\\\\\x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{q}{p}\\\\x_1+(x_1+2)+(x_1+4)+(x_1+6)=-\frac{-8}{1}\\\\4x_1+12=8\\\\4x_1=-4\\\\x_1=-1\\\\\\diperoleh~:\\\\x_1=-1\\\\x_2=-1+2=1\\\\x_3=-1+4=3\\\\x_4=-1+6=5
.
> Cari nilai a.
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{r}{p}\\\\-1(1)-1(3)-1(5)+1(3)+1(5)+3(5)=\frac{a}{1}\\\\a=14
.
> Cari nilai b.
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{s}{a}\\\\-1(1)(3)-1(1)(5)-1(3)(5)+1(3)(5)=-\frac{-b}{1}\\\\b=-8\\
.
> Cari nilai c.
x_1x_2x_3x_4=\frac{t}{p}\\\\-1(1)(3)(5)=\frac{c}{1}\\\\c=-15
Diperoleh nilai a = 14, b = -8, dan c = -15.
.
KESIMPULAN
Nilai a, b dan c apda persamaan x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0 yang akar akar persamaannya membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 adalah a = 14, b = -8, dan c = -15.
[answer.2.content]
